Question

函數f（x）的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）為奇函數，當x＞1時，f（x）=2x²-12x+16，則方程f（x）=m有兩個零點的實數m的取值范圍是（ ）
A．（-6，6）
B．（-2，6）
C．（-6，-2）∪（2，6）
D．（-∞，-6）∪（6，+∞）

Answer 1

【答案】分析：根據f（x+1）為奇函數，以及x＞1時，f（x）=2x²-12x+16，求得x＜1時，f（x）的解析式．由題意可得，直線y=m與函數f（x）圖象交點個數為2，數形結合求得實數m的取值范圍．
解答：解：∵f（x+1）為奇函數，可得 f（-x+1）=-f（x+1），即 f（-x+1）+f（x+1）=0，
故函數f（x）圖象關于點（1，0）對稱，∴f（x）+f（2-x）=0．
當x＜1時，有2-x＞1，又當x＞1時，f（x）=2x²-12x+16，故函數的最小值為f（3）=-2．
∴當x＜1時，f（x）=-f（2-x）=-[2 （2-x）²-12（2-x）+16]=-2x²-4x=-2x（x+2），故函數的最大值為2．
直線y=m與函數f（x）圖象的所有交點的個數，就是方程f（x）=m的零點的個數．
由題意可得，直線y=m與函數f（x）圖象交點個數為2．如圖所示：
故實數m的取值范圍是 （-6，-2）∪（2，6），
故選C．
點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用，函數的零點與方程的根的關系，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．