Question

已知

a

=（y-m，sinx），

b

=（sinx-2m，1），且

a

∥

b

．
（1）求y關于x的函數關系式y=f（x）；
（2）求函數y=f（x）的最小值g（m）；
（3）若g（m）＞-2，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線定理即可得出；
（2）令sinx=t∈[-1，1]，通過分類討論利用二次函數的單調性即可得出；
（3）通過分類討論，利用一元一次不等式、一元二次不等式的解法即可得出．

解答：解：（1）∵

a

=（y-m，sinx），

b

=（sinx-2m，1），且

a

∥

b

∴y-m=sinx（sinx-2m），∴y=f（x）=sinx²-2msinx+m，x∈R
（2）令sinx=t，則y=f（x）=t²-2mt+m=h（t）=（t-m）²+m-m²，t∈[-1，1]．
①當m＞1時，t=1時h（t）取得最小值，h（1）=1-m；
②當-1≤m≤1時，t=m時h（t）取得最小值，h（m）=-m²+m；
③當m＜-1時，t=-1時h（t）取得最小值，h（-1）=1+3m．
∴g（m）=

1-m，m＞1 -m2+m，-1≤m≤1 1+3m，m＜-1

．
（3）∵g（m）＞-2．
∴①當m＞1時，1-m＞-2，解得1＜m＜3；
②當-1≤m≤1時，-m²+m＞-2，解得-1＜m≤1；
③當m＜-1時，1+3m＞-2，解得m∈∅．
綜上可知：g（m）＞-2的解集為（-1，3）．

點評：熟練掌握向量共線定理、換元法、分類討論、二次函數的單調性、一元一次不等式、一元二次不等式的解法等是解題的關鍵．