【題目】如圖:在直角坐標系中,設橢圓
的左右兩個焦點分別為
、
.過右焦點
與
軸垂直的直線
與橢圓C相交,其中一個交點為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的一個頂點為,求點M到直線
的距離;
(3)過中點的直線
交橢圓于P、Q兩點,求
長的最大值以及相應的直線方程.
【答案】(1);(2)
;(3)
,
【解析】
(1)設右焦點為
,令
,代入橢圓方程,可得
,
,解方程可得
,
,進而得到橢圓方程;(2)求得直線
的方程,由點到直線的距離公式,計算即可得到所求值;(3)過
中點的直線
的方程設為
,代入橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,化簡整理即可得到弦長的取值范圍,再由斜率為0,求得直線方程,代入橢圓方程,求得
的長,即可得到最大值.
(1)設右焦點為
,
令,代入橢圓可得
,由
,即有
,
,
又,解得
,
,
則橢圓方程為.
(2)由題意可得,
,
直線的方程為
,
則點到直線
的距離為
;
(3)過中點的直線
的方程設為
,
代入橢圓方程,可得,
由于中點在橢圓內,故直線與橢圓相交,
設交點,
,即有
,
,
弦長
,
令,
則,
當,即
時,取得最小值
,
即有,
當直線時,代入橢圓方程,可得
,
即有,
綜上可得,的最大值為
,此時直線方程為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為
、
,離心率為
,點
是橢圓
上的一個動點,且
面積的最大值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作直線
交橢圓
于
、
兩點,過點
作直線
的垂線
交圓
:
于另一點
.若
的面積為3,求直線
的斜率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,圓與直線
相切于點
,與
正半軸交于點
,與直線
在第一象限的交點為
. 點
為圓
上任一點,且滿足
,以
為坐標的動點
的軌跡記為曲線
.
(1)求圓的方程及曲線
的方程;
(2)若兩條直線和
分別交曲線
于點
和
,求四邊形
面積的最大值,并求此時的
的值.
(3)已知曲線的軌跡為橢圓,研究曲線
的對稱性,并求橢圓
的焦點坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,
的參數方程為
(t為參數).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為
.
(1)求的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)求曲線C上的點到距離的最大值及該點坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】市場上有一種新型的強力洗衣粉,特點是去污速度快,已知每投放(
且
)個單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機中,它在水中釋放的濃度
(克/升)隨著時間
(分鐘)變化的函數關系式近似為
,其中
,若多次投放,則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和,根據經驗,當水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時,它才能起有效去污的作用.
(1)若只投放一次4個單位的洗衣液,則有效去污時間可能達幾分鐘?
(2)若先投放2個單位的洗衣液,6分鐘后投放個單位的洗衣液,要使接下來的4分鐘中能夠持續有效去污,試求
的最小值(精確到0.1,參考數據:
取
).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設數列共有
項,記該數列前
項
,
,…,
中的最大項為
,該數列后
項
,
,…,
中的最小項為
,
(
1,2,3,…,
).
(1)若數列的通項公式為
,求數列
的通項公式;
(2)若數列是單調數列,且滿足
,
,求數列
的通項公式;
(3)試構造一個數列,滿足
,其中
是公差不為零的等差數列,
是等比數列,使得對于任意給定的正整數
,數列
都是單調遞增的,并說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在數列中,若
是正整數,且
,
,則稱
為“D-數列”.
(1) 舉出一個前五項均不為零的“D-數列”(只要求依次寫出該數列的前五項);
(2) 若“D-數列”中,
,
,數列
滿足
,
,寫出數列
的通項公式,并分別判斷當
時,
與
的極限是否存在,如果存在,求出其極限值(若不存在不需要交代理由);
(3) 證明: 設“D-數列”中的最大項為
,證明:
或
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數.
(1)若,求
的單調區間;
(2)若關于的方程
有四個不同的解
,
,
,
,求實數
,
應滿足的條件;
(3)在(2)條件下,若,
,
,
成等比數列,求
用
表示.
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