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【題目】已知橢圓C：的離心率為，橢圓C的四個頂點圍成的四邊形的面積為．

求橢圓C的方程；

直線l與橢圓C交于，兩個不同點，O為坐標原點，若的面積為，證明：為定值．

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

由離心率為，，，由，解得：，，即可求得橢圓C的方程；

直線l的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱，，，由三角形面積公式即可求得和的值，可得的值，當直線斜率存在，設出直線方程代入橢圓方程，利用及韋達定理求得和的關系，利用點到直線的距離公式和弦長公式求得的面積，求得m和k的關系式，即可證明為定值.

解：橢圓C：的焦點在x軸上，離心率為，，

橢圓C的四個頂點圍成的四邊形的面積為，即，

由，解得：，，

橢圓的標準方程為：；

證明：當直線軸時，，的面積，

解得：，，

故．

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，，

聯立可得：，

，即，

由韋達定理可知，．

．

點O到直線l的距離為

則的面積．

整理得：，滿足，代入

綜上為定值.

練習冊系列答案
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【題目】已知有6名男醫生,4名女醫生.

(1)選3名男醫生,2名女醫生,讓這5名醫生到5個不同地區去巡回醫療,一個地區去一名教師，共有多少種分派方法?

(2)把10名醫生分成兩組,每組5人且每組都要有女醫生,共有多少種不同的分法?若將這兩組醫生分派到兩地去,又有多少種分派方法?

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【題目】設橢圓的右焦點為，右頂點為.已知，其中為原點， 為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程及離心率的值；

（2）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點.若，且，求直線的斜率的取值范圍.

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【題目】中國古代數學名著《九章算術》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還升， 升， 升，1斗為10升，則下列判斷正確的是( )

A. ， ， 依次成公比為2的等比數列，且

B. ， ， 依次成公比為2的等比數列，且

C. ， ， 依次成公比為的等比數列，且

D. ， ， 依次成公比為的等比數列，且

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【題目】（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，焦點為,拋物線上一點的橫坐標為，且.

（Ⅰ）求此拋物線的方程；

（Ⅱ）過點做直線交拋物線于兩點,求證：.

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【題目】對于函數，若存在，使成立，則稱為的不動點.已知函數 .

（1）當，時，求函數的不動點；

（2）若對任意實數，函數恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的兩個不動點為，，且，求實數的取值范圍.

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【題目】如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.

(1)求證：BF⊥平面ACFD；

(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值．

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【題目】近年來，我國電子商務蓬勃發展，有關部門推出了針對網購平臺的商品和服務的評價系統，從該系統中隨機選出100名交易者，并對其交易評價進行了統計，網購者對商品的滿意率為0.6，對服務的滿意率為0.75，其中對商品和服務都滿意的有40人.

（1）根據已知條件完成下面的列聯表，并回答能否有的把握認為“網購者對服務滿意與對商品滿意之間有關”？

對服務滿意

對服務不滿意

合計

對商品滿意

對商品不滿意

合計

（2）若對商品和服務都不滿意者的集合為.已知中有2名男性，現從中任取2人調查其意見.求取到的2人恰好是一男一女的概率.

附： (其中為樣本容量）

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【題目】已知圓：，直線：.

（1）求直線所過定點的坐標；

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（3）已知點，在直線（為圓心）上存在定點（異于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數，試求所有滿足條件的點的坐標及該常數.

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