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【題目】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4,點D是AB的中點

（1）求證：ACBC；

（2）求證：AC//平面CDB；

（3）求二面角B-DC-B1的余弦值．

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）由已知得AC⊥BC，且BC1在平面ABC內的射影為BC，由此能證明AC⊥BC1．（2）設CB1與C1B的交點為E，連結DE，由已知得DE∥AC1，由此能證明AC1∥平面CDB1．（3）以C為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-CD-B1正切值

試題解析：（1）因為，所以，即

（2）設,則,故

所以,即

因為平面,平面,所以AC//平面CDB

（3）可求得平面的一個法向量為，取平面CDB的一個法向量為

，則，由圖可知，二面角B-DC-B1的余弦值為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為研究冬季晝夜溫差大小對某反季節大豆新品種發芽率的影響，某農科所記錄了5組晝夜溫差與100顆種子發芽數，得到如下資料：

組號

1

2

3

4

5

溫差（）

10

11

13

12

8

發芽數（顆）

23

25

30

26

16

該所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求出線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．

（1）若選取的是第1組與第5組的兩組數據，請根據第2組至第4組的數據，求出關于的線性回歸方程；

（2）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（1）中所得的線性回歸方程是否可靠？

（參考公式：，）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，，，，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知是數列的前項和，且滿足，等差數列的前項和為,且， .

（Ⅰ）求數列與的通項公式；

（Ⅱ）若數列的通項公式為，問是否存在互不相等的正整數， ， 使得， ， 成等差數列，且 ， ， 成等比數列？若存在，求出， ， ；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數的兩個極值點為,且.

（1）求的值;

（2）若在(其中上是單調函數, 求的取值范圍;

（3）當時, 求證:.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某市有三所高校，其學生會學習部有“干事”人數分別為，現采用分層抽樣的方法從這些“干事”中抽取名進行“大學生學習部活動現狀”調查．

（1）求應從這三所高校中分別抽取的“干事”人數；

（2）若從抽取的名干事中隨機選兩名干事，求選出的名干事來自同一所高校的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）當函數在點處的切線方程為，求函數的解析式；

（2）在（1）的條件下，若是函數的零點，且，求的值；

（3）當時，函數有兩個零點，且，求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干個，每個生日蛋糕的成本為50元，然后以每個100元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的蛋糕作垃圾處理．現需決策此蛋糕店每天應該制作幾個生日蛋糕，為此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（單位：個），得到如圖所示的柱狀圖，以100天記錄的各需求量的頻率作為每天各需求量發生的概率．

（1）若蛋糕店一天制作17個生日蛋糕，

①求當天的利潤（單位：元）關于當天需求量（單位：個，）的函數解析式；

②在當天的利潤不低于750元的條件下，求當天需求量不低于18個的概率．

（2）若蛋糕店計劃一天制作16個或17個生日蛋糕，請你以蛋糕店一天利潤的期望值為決定依據，判斷應該制作16個是17個？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓和定點，由圓外一點向圓引切線，切點為，且滿足．

（1）求實數間滿足的等量關系；

（2）若以為圓心的圓與圓有公共點，試求圓的半徑最小時圓的方程；

（3）當點的位置發生變化時，直線是否過定點，如果是，求出定點坐標，如果不是，說明理由.

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