Question

已知奇函數f（x）=log₂（a+x）-log₂（a-x）（a＞0），定義域為（b，b+2）（定義域是指使表達式有意義的實數x的集合）．
（1）求實數a和b的值，并證明函數f（x）在其定義域上是增函數；
（2）設f（x）的反函數為f^-1（x），若不等式f^-1（x）≤m•2^x對于x∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵奇函數的定義域關于原點對稱，∴b+b+2=0?b=-1，∴定義域為（-1，1），
從而（a＞0）的解集為（-1，1），∴a=1，
∴，
設-1＜x₁＜x₂＜1，，
由-1＜x₁＜x₂＜1?0＜1+x₁＜1+x₂且0＜1-x₂＜1-x₁?且
??，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在其定義域上是增函數
（2）令f（x）=y，則?2^y-x•2^y=1+x?（y∈R），
∴反函數f^-1（x）═，由f^-1（x）≤m•2^x?，整理得，此式對于x∈[1，2]恒成立，令2^x-1=t，則t∈[1，3]，，
當，即∈[1，3]時上式成立等號，即有最大值為，
∴．
分析：（1）先利用奇函數的定義域關于原點對稱求出b的值，再根據f（x）為奇函數，有f（-x）=-f（x），由此等式解出a的值，最后利用單調性的定義說明不函數f（x）在其定義域上是增函數；
（2）根據反函數的定義求出原函數的反函數f^-1（x）═，再由f^-1（x）≤m•2^x即，此式對于x∈[1，2]恒成立，再利用換元結合基本不等式得到有最大值為，從而求出實數m的取值范圍．
點評：本小題主要考查函數單調性、函數奇偶性的應用、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．