Question

設各項均為正實數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}的通項公式為（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差數列，求t和m的值；
（Ⅲ）證明：存在無窮多個三邊成等比數列且互不相似的三角形，其三邊長為數列{a_n}中的三項，，．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，4S_n=①，
當n≥2時，有4S_n-1=②，
②-①，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵{a_n}各項為正，
∴a_n+a_n-1＞0，
從而a_n-a_n-1=2，故{a_n}成公差2的等差數列．
又n=1時，4a₁=，解得a₁=1．故a_n=2n-1． …（4分）
（Ⅱ）b_n=，要使b₁，b₂，b_m成等差數列，須2b₂=b₁+b_m，
即2×=+，整理得m=3+，
因為m，t為正整數，t只能取2，3，5．
故，，． …（10分）
（Ⅲ）作如下構造：=（2k+3）²，=（2k+3）（2k+5），=（2k+5）²，其中k∈N^*，它們依次為數列{a_n}中第2k²+6k+5項，第2k²+8k+8項，第2k²+10k+13，
顯然它們成等比數列，且+＞，所以它們能組成三角形．
由k∈N^*的任意性，知這樣的三角形有無窮多個．
下面用反證法證明其中任意兩個三角形△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂不相似．
若△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，且k₁≠k₂，則=，整理得=，所以k₁=k₂，這與k₁≠k₂矛盾，因此，任意兩個三角形不相似．故原命題正確． …（16分）
分析：（Ⅰ）由4S_n=①，類推，當n≥2時，有4S_n-1=②，作差后依題意得到a_n-a_n-1=2，再求得a₁=1即可求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）依題意，要使b₁，b₂，b_m成等差數列，須2b₂=b₁+b_m，整理得m=3+，由m，t為正整數，可求得t，m的值；
（Ⅲ）構造：=（2k+3）²，=（2k+3）（2k+5），=（2k+5）²，其中k∈N^*，使之成數列{a_n}中第2k²+6k+5項，第2k²+8k+8項，第2k²+10k+13，它們成等比數列且能組成三角形，可利用反證法證得任意兩個三角形△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂不相似．
點評：本題考查數列與三角函數的綜合，考查等差數列的推證與通項的求法，突出考查構造數列與推理論證的能力，屬于難題．