Question

（2013•崇明縣一模）設函數fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．
（1）當n=2，b=1，c=-1時，求函數f_n（x）在區間(

1

2

，1)內的零點；
（2）設n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區間(

1

2

，1)內存在唯一的零點；
（3）設n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f2(x)=x2+x-1，令f₂（x）=0，得到f₂（x）在區間（

1

2

，1）內的零點．
（2）由fn(

1

2

)＜0，f_n（1）＞0．知fn(

1

2

)•f_n（1）＜0．從而得到f_n（x）在(

1

2

，1)內存在零點．利用定義法推導出f_n（x）在(

1

2

，1)內單調遞增，由此能夠證明f_n（x）在(

1

2

，1)內存在唯一零點．
（3）當n=2時，f₂（x）=x²+bx+c．對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，等價于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4．由此進行分類討論能求出b的取值范圍．

解答：解：（1）f2(x)=x2+x-1，
令f₂（x）=0，得x=

-1± 5

2

，
所以f₂（x）在區間（

1

2

，1）內的零點是x=

-1+ 5

2

．
（2）證明：因為 fn(

1

2

)＜0，f_n（1）＞0．
所以fn(

1

2

)•f_n（1）＜0．
所以f_n（x）在(

1

2

，1)內存在零點．
任取x₁，x₂∈（

1

2

，1），且x₁＜x₂，
則f_n（x₁）-f_n（x₂）=（x1n-x2n）+（x₁-x₂）＜0，
所以f_n（x）在(

1

2

，1)內單調遞增，
所以f_n（x）在(

1

2

，1)內存在唯一零點．
（3）當n=2時，f₂（x）=x²+bx+c．
對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
等價于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4．
據此分類討論如下：
①當|

b

2

|＞1，即|b|＞2時，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，與題設矛盾．
②當-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2時，M=f₂（1）-f₂（-

b

2

）=（

b

2

+1）²≤4恒成立．
③當0≤-

b

2

≤1，即-2≤b≤0時，M=f₂（-1）-f₂（-

b

2

）=（

b

2

-1）²≤4恒成立．
綜上可知，-2≤b≤2．

點評：本題考查函數的零點的求法，考查函數有唯一零點的證明，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．