Question

已知二次函數f（x）滿足：（1）f（0）=-6，（2）關于x的方程f（x）=0的兩實根是x₁=-1，x₂=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）-mx，且g（x）在區間[-2，2]上是單調函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），根據一元二次方程根與系數的關系求得a、b的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）先求出二次函數g（x）的對稱軸為x=

m+4

4

，根據g（x）在區間[-2，2]上是單調函數，可得

m+4

4

≥2或

m+4

4

≤-2，由此求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由題意可知：c=-6，x1+x2=2=-

b

a

，x1x2=-3=

-6

a

．
解得：a=2，b=-4，所以f（x）=2x²-4x-6．…（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）-mx=2x²-4x-6-mx=2x²-（m+4）x-6，它的對稱軸x=

m+4

4

．
因為g（x）在區間[-2，2]上是單調函數，所以，

m+4

4

≥2或

m+4

4

≤-2，
解得 m≤-12，或m≥4，即實數m的取值范圍為{m|m≤-12，或m≥4}．…（13分）

點評：本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，二次函數的性質，用待定系數法求函數的解析式，屬于基礎題．