Question

【題目】如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為的正方形，周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心，G為AD的中點，點P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點H.設弧AD的長為，.

（1）求關于的函數關系式；

（2）定義比值為招貼畫的優美系數，當優美系數最大時，招貼畫最優美.證明：當角滿足：時，招貼畫最優美.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析

【解析】

（1）分類時，點P在線段OG上，當時，點P在線段GH上，當 時，.求出半徑后可得弦長；

（2）由（1）的分類討論求得.，令，用導數的知識求它的最大值即可得．

解：（1）當時，點P在線段OG上，；

當時，點P在線段GH上，；

當 時，. 綜上所述，，.

所以，弧AD的長，故所求函數關系式為，.

（2）當時，；

當時，；

當 時，.所以，，.

從而，.

記，. 則.

令，得. 因為，所以，

從而， 顯然，所以.

記滿足的，下面證明是函數的極值點.

設，.則在上恒成立， 從而在上單調遞減，所以，當時，，即，在上單調遞增；當時，，即，在上單調遞減.

故 在處取得極大值，也是最大值.

所以，當滿足時，函數即取得最大值，此時招貼畫最優美.