Question

（2013•德州二模）已知向量

a

=（2cosωx，-1），

b

=（

3

sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函數f（x）=

a

•

b

的最小正周期為π．
（I）求函數f（x）的表達式及最大值；
（Ⅱ）若在x∈[0，

π

2

]上f（x）≥a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量的數量積公式，結合三角恒等變換公式化簡得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），由函數的周期算出ω的值，即可得到函數f（x）的表達式，進而利用三角函數的圖象與性質求出函數的最大值；
（2）利用三角函數的圖象與性質，算出當x∈[0，

π

2

]時y=2sin（2x+

π

6

）的最大值為2且最小值為-1，由此結合f（x）≥a恒成立，可得實數a小于或等于f（x）的最小值，由此即可得到本題的答案．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cosωx（

3

sinωx+cosωx）-1
=

3

sin2ωx+2cos²ωx-1=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
∵f（x）的最小正周期為T=

2π

2ω

=π，解之得ω=1
∴函數f（x）的表達式為y=2sin（2x+

π

6

）；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴當x=

π

6

時，y=2sin（2x+

π

6

）的最大值為2；
當x=

π

2

時，y=2sin（2x+

π

6

）的最小值為-1
因此，若在x∈[0，

π

2

]上f（x）≥a恒成立，則a≤-1
即實數a的取值范圍為（-∞，-1]．

點評：本題給出三角函數表達式，求函數的最小正周期和最值，并討論不等式恒成立的問題．著重考查了三角函數的圖象與性質、向量數量積運算和不等式恒成立的理解等知識，屬于中檔題．