Question

 

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，M、N、G分別是棱CC₁、AB、BC的中點，且.

（Ⅰ）求證：CN∥平面AMB₁；

（Ⅱ）求證： B₁M⊥平面AMG.

 

Answer 1

【答案】

見解析.

【解析】第一問中，利用線面平行的判定定理，可以知道CNPM是平行四邊形∴CN∥MP，因此得到證明，第二問中，要證明垂直，因為∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，

    ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁ B₁ B，∴B₁M⊥AG設：AC=2a，則

同理，即可以證明。

 

解：(Ⅰ)設AB₁ 的中點為P，連結NP、MP ………………………1分

∵CM   ，NP   ，∴CM       NP， …………2分

∴CNPM是平行四邊形，∴CN∥MP  …………………………3分

∵CN⊥平面AMB₁，MP//  平面AMB₁，∴CN∥平面AMB₁…4分

(Ⅱ)∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，

    ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁ B₁ B，∴B₁M⊥AG………………6分

∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁⊥B₁ C，   第20題圖

設：AC=2a，則

…………………………………………8分

同理，………………………………………………………………………9分

∵ BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AB，

……………………………………………………10分

 …………………………………………………12分