Question

（07年湖北卷理）（13分）

已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求證：（）．

Answer 1

本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力．

解析：（Ⅰ）設與在公共點處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當，即時，；

當，即時，．

故在為增函數，在為減函數，

于是在的最大值為．

（Ⅱ）設，

則．

故在為減函數，在為增函數，

于是函數在上的最小值是．

故當時，有，即當時，．