Question

（05年江西卷）（12分）

如圖，在長方體ABCD―A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動.

   （1）證明：D₁E⊥A₁D；

   （2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；

   （3）AE等于何值時，二面角D₁―EC―D的大小為.

Answer 1

解析：解法（一）

（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）設點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

  ∴∠DHD₁為二面角D₁―EC―D的平面角.

設AE=x，則BE=2－x

解法（二）：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，

，設平面ACD₁的法向量為，則

也即，得，從而，所以點E到平面AD₁C的距離為

（3）設平面D₁EC的法向量

，∴

由  令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依題意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=時，二面角D₁―EC―D的大小為.