【題目】如圖，在四邊形ABCD中，△ABC是邊長為6的正三角形，設 
（x，y∈R）． 
（1）若x=y=1，求| 
|；
（2）若 
=36， 
=54，求x，y．
【答案】
（1）解：如圖，
若x=y=1，則 
；
∴BD過AC的中點E，且BD=2BE= 
；
即 
（2）解：設∠DBC=θ，則∠DBA=60°﹣θ，設BD=d；
∴由 
=36， 
=54得：
；
解得，cos 
，d= 
；
∴ 
；
即84=36x2+36xy+36y2，整理得， 
①；
且 
；
∴ 
=18x﹣18y=18；
∴x﹣y=1②；
①②聯立得， 
（舍去），x= 
．
【解析】（1）x，y=1時，根據向量加法的平行四邊形法則，以及等邊三角形的中線也是高線便可求出BD的長度，即求出 
的值；（2）可設BD=d，∠DBC=θ，根據條件及向量數量積的計算公式便可得出不等式組 ，解該不等式組可求出d的大小，然后對 
兩邊平方即可得出 ①；再根據該問的條件可得到方程x﹣y=1②，這樣兩式聯立即可求出x，y的值．
【考點精析】掌握平面向量的基本定理及其意義是解答本題的根本，需要知道如果
、
是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量
，有且只有一對實數
、
，使
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的離心率為 
，其中左焦點F（﹣2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段的中點M在圓x2+y2=1上，求m的值．
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【題目】已知函數f（x）=ax3+cx（a≠0，a∈R，c∈R），當x=1時，f（x）取得極值﹣2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調區間和極大值；
（3）若對任意x1、x2∈[﹣1，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t恒成立，求實數t的最小值．
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【題目】已知函數f（x）=ex+2ax（a為常數）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數f（x）的極值；
（2）證明：當x＞0時，x2+1＜ex ．
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