Question

（2012•盧灣區一模）已知數列{b_n}，若存在正整數T，對一切n∈N^*都有b_n+r=b_n，則稱數列{b_n}為周期數列，T是它的一個周期．例如：
數列a，a，a，a，…①可看作周期為1的數列；
數列a，b，a，b，…②可看作周期為2的數列；
數列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期為3的數列…
（1）對于數列②，它的一個通項公式可以是an =

a   n為正奇數 b    n為正偶數

，試再寫出該數列的一個通項公式；
（2）求數列③的前n項和S_n；
（3）在數列③中，若a=2，b=

1

2

，c=-1，且它有一個形如b_n=Asin（ωn+φ）+B的通項公式，其中A、B、ω、φ均為實數，A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，求該數列的一個通項公式b_n．

Answer 1

分析：（1）根據數列a，b，a，b，…可看作周期為2的數列，可寫出數列的通項；
（2）數列a，b，c，a，b，c，…可看作周期為3的數列，故可分類得出結論；
（3）由題意，ω＞0，應有

2π

ω

=3，得ω=

2π

3

，于是b_n=Asin（

2π

3

n+φ）+B，把b₁=2，b₂=

1

2

，b₃=-1，代入上式，即可得出結論．

解答：解：（1）∵數列a，b，a，b，…可看作周期為2的數列；
∴a_n=a|sin

nπ

2

|+b|cos

nπ

2

|等．（3分）
（2）數列a，b，c，a，b，c，…可看作周期為3的數列，所以當n=3k+1時，Sn=

n-1

3

(a+b+c)+a；（5分）
當n=3k+2時，Sn=

n-2

3

(a+b+c)+a+b；（7分）
當n=3k+3時，Sn=

n

3

(a+b+c)（k∈N）．（9分）
（3）由題意，ω＞0，應有

2π

ω

=3，得ω=

2π

3

，（10分）
于是b_n=Asin（

2π

3

n+φ）+B，
把b₁=2，b₂=

1

2

，b₃=-1，代入上式得

Asin( 2π 3 +φ)+B=2(1) Asin( 4π 3 +φ)+B= 1 2 (2) Asin(2π+φ)+B=-1(3)

（12分）
由（1）（2）可得Acosφ=

3

2

，再代入（1）的展開式，可得-

A

2

sinφ+B=

5

4

，與（3）聯立得B=

1

2

，（13分）
Asinφ=-

3

2

，于是tanφ=-

3

因為|φ|＜

π

2

，所以φ=-

π

3

，（14分）
于是可求得A=

3

．（15分）
故b_n=

3

sin（

2nπ

3

-

π

3

）+

1

2

（16分）

點評：本題考查數列與三角函數的綜合，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數學思想，有一定難度．