Question

已知直線x-2y+2=0經過橢圓C：（a＞b＞0）的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：分別交于M，N兩點。

（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點T的個數，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得，橢圓C的左頂點為上頂點為
∴
故橢圓C的方程為。
（2）直線AS的斜率k顯然存在，且，故可設直線AS的方程為，
從而
由得0
設則（-2）×得，
從而
即
又
由得
∴
故
又
∴
當且僅當，即時等號成立
∴時，線段MN的長度取最小值。
（3）由（2）可知，當MN取最小值時，
此時的方程為，S
∴
要使橢圓C上存在點T，使得的面積等于，只須T到直線BS的距離等于，
所以T在平行于且與距離等于的直線l′上。
設直線l′：
則由解得或
當由得
由于
故直線與橢圓C有兩個不同的交點
當由得
由于，故直線l′與橢圓C沒有交點
綜上所述，當線段MN的長度最小時，橢圓上僅存在兩個不同的點T，使得的面積等于。