【題目】設
， 
， 
， 
， 
是5個正實數（可以相等）．
證明：一定存在4個互不相同的下標
， 
， 
， 
，使得
．
【答案】證明見解析.
【解析】試題分析：可設
，則
， 
， 
， 
， 
都屬于區間
，由抽屜原理知，區間
或
中一定有一個區間至少包含其中的3個數，5個分數的分子、分母的下標特征知，圍成的圓圈中，任意相鄰兩個分數的分子、分母的4個下標互不相同． 
、
對應的分數的分子、分母的4個下標符合要求．因此，結論成立．
試題解析：不妨設
，考慮以下5個分數： 
， 
， 
， 
， 
，①
它們都屬于區間
．
把區間
分成兩個區間： 
和
，由抽屜原理知，區間
或
中一定有一個區間至少包含①中的3個數（記這3個數依次為
， 
， 
）．
將①中的5個數依次圍成一個圓圈，則①中任意三個數中都有兩個數是相鄰的（
與
是相鄰的），即
， 
， 
中至少有兩個數是相鄰的．假設
與
相鄰，則
．
另一方面，由①中5個分數的分子、分母的下標特征知，圍成的圓圈中，任意相鄰兩個分數的分子、分母的4個下標互不相同．
于是， 
、
對應的分數的分子、分母的4個下標符合要求．因此，結論成立．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《中國謎語大會》是中央電視臺科教頻道的一檔集文化、益智、娛樂為一體的大型電視競猜節目，目的是為弘揚中國傳統文化、豐富群眾文化生活．為選拔選手參加“中國謎語大會”，某地區舉行了一次“謎語大賽”活動．為了了解本次競賽選手的成績情況，從中抽取了部分選手的分數（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本進行統計．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數的莖葉圖（圖中僅列出得分在[50，60），[90，100）的數據）． 
（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（2）分數在[80，90）的學生中，男生有2人，現從該組抽取三人“座談”，求至少有兩名女生的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量 
=（4，3）， 
=（2，﹣1），O為坐標原點，P是直線AB上一點．
（1）若點P是線段AB的中點，求向量 與向量 夾角θ的余弦值；
（2）若點P在線段AB的延長線上，且| 
|= 
| 
|，求點P的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA= 
，AB=1．AD=2．∠BAD=120°，E，F，G，H分別是BC，PB，PC，AD的中點．
（Ⅰ）求證：PH∥平面GED；
（Ⅱ）過點F作平面α，使ED∥平面α，當平面α⊥平面EDG時，設PA與平面α交于點Q，求PQ的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f（x）= 
x3﹣2ax2﹣3x（a∈R）． （Ⅰ）若f（x）在區間（﹣1，1）內為減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）對于實數a的不同取值，試討論y=f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數．
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