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如圖，線段過y軸上一點，所在直線的斜率為，兩端點、到y軸的距離之差為.

(Ⅰ)求出以y軸為對稱軸，過、、三點的拋物線方程；

(Ⅱ)過拋物線的焦點作動弦，過、兩點分別作拋物線的切線，設其交點為，求點的軌跡方程，并求出的值.

 

【答案】

(Ⅰ)拋物線方程為 ； (Ⅱ)  。

【解析】(I) 設所在直線方程為，拋物線方程為

且， ,,再讓直線AB的方程與拋物線的方程聯立，借助韋達定理建立關于p的方程，求出p值，確定出拋物線的方程.

(II) 設，，然后利用導數求出經過C、D的切線方程，求出交點M的坐標，設的直線方程為，代入得,根據是方程的兩個根,確定點M的軌跡方程以后，解決此問題才有了正確的出口.

(Ⅰ)設所在直線方程為，拋物線方程為，且， ，不妨設，      即

把代入得 

        故所求拋物線方程為 ---------4分

 (Ⅱ)設，

過拋物線上、兩點的切線方程分別是，

兩條切線的交點的坐標為

設的直線方程為，代入得

 故的坐標為　點的軌跡為---------------8分

   

而 

故          -----------------------------------12分

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖）．在直線x=2的右側，考察范圍為到點B的距離不超過
6
5
5
km的區域；在直線x=2的左側，考察范圍為到A，B兩點的距離之和不超過4
5
km的區域．
（Ⅰ）求考察區域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）如圖所示，設線段P1P2，P2P3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區域所需的最短時間．
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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•威海二模）如圖，在平面直角坐標系xoy中，設點F（0，p）（p＞0），直線l：y=-p，點p在直線l上移動，R是線段PF與x軸的交點，過R、P分別作直線l1、l2，使l1⊥PF，l2⊥l l1∩l2=Q．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）在直線l上任取一點M做曲線C的兩條切線，設切點為A、B，求證：直線AB恒過一定點；
（Ⅲ）對（Ⅱ）求證：當直線MA，MF，MB的斜率存在時，直線MA，MF，MB的斜率的倒數成等差數列．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，A、B為半橢圓
y24
+x2=1(y≥0)的兩個頂點，F為上焦點，將半橢圓和線段AB合在一起稱為曲線C．
（1）求△ABF的外接圓圓心；
（2）過焦點F的直線L與曲線C交于P、Q兩點，若|PQ|=2，求所有滿足條件的直線L；
（3）對于一般的封閉曲線，曲線上任意兩點距離的最大值稱為該曲線的“直徑”．如圓的“直徑”就是通常的直徑，橢圓的“直徑”就是長軸的長．求該曲線C的“直徑”．

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科目：高中數學 來源： 題型：

“點動成線，線動成面，面動成體”．如圖，x軸上有一條單位長度的線段AB，沿著與其垂直的y軸方向平移一個單位長度，線段掃過的區域形成一個二維方體（正方形ABCD），再把正方形沿著與其所在的平面垂直的z軸方向平移一個單位長度，則正方形掃過的區域形成一個三維方體（正方體ABCD-A1B1C1D1）．請你設想存在四維空間，將正方體向第四個維度平移得到四維方體，若一個四維方體有m個頂點，n條棱，P個面，則n，m，p的值分別為
16，32，24
16，32，24
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•懷化二模）如圖展示了一個由區間（0，k）（其中k為一正實數）到實數集R上的映射過程：區間（0，k）中的實數m對應線段AB上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個離心率為
3
2
的橢圓，使兩端點A、B恰好重合于橢圓的一個短軸端點，如圖2；再將這個橢圓放在平面直角坐標系中，使其中心在坐標原點，長軸在x軸上，已知此時點A的坐標為（0，1），如圖3，在圖形變化過程中，圖1中線段AM的長度對應于圖3中的橢圓弧ADM的長度．圖3中直線AM與直線y=-2交于點N（n，-2），則與實數m對應的實數就是n，記作f（m）=n，

現給出下列5個命題①f(
k
2
)=6；②函數f（m）是奇函數；③函數f（m）在（0，k）上單調遞增；④函數f（m）的圖象關于點(
k
2
，0)對稱；⑤函數f(m)=3
3
時AM過橢圓的右焦點．其中所有的真命題是（　�。�

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