Question

已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓方程為；（Ⅱ）存在定點M，使以為直徑的圓恒過這個定點．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求橢圓E的方程，可用待定系數法求方程，因為拋物線的焦點為，故可得橢圓E：的兩個焦點，即，由題意直線y＝上到焦點F1，F2距離之和最小，可用對稱法求最小值，即求出點關于直線的對稱點為最小值為，此時的點P恰好在橢圓E上，故，可得，從而得，這樣就得橢圓E的方程；（Ⅱ）這是探索性命題，可假設存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點，此時當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為：，當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為：，解得兩圓公共點．因此所求的點如果存在，只能是．由此能夠導出以AB為直徑的圓恒過定點M．

試題解析：（Ⅰ）由拋物線的焦點可得：，

點關于直線的對稱點為

故，

因此，橢圓方程為。（4分）

（Ⅱ）假設存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點。

當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為： …………… ①

當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為： …………②

由①②知定點M。（6分）

下證：以AB為直徑的圓恒過定點M。

設直線，代入，有。

設，則。

則，

在軸上存在定點M，使以為直徑的圓恒過這個定點。（14分）

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的共同特征．