為了尋找馬航殘骸,我國“雪龍號”科考船于2014年3月26日從港口
出發,沿北偏東
角的射線
方向航行,而在港口北偏東
角的方向上有一個給科考船補給物資的小島
,
海里,且
.現指揮部需要緊急征調位于港口
正東
海里的
處的補給船,速往小島
裝上補給物資供給科考船.該船沿
方向全速追趕科考船,并在
處相遇.經測算當兩船運行的航線與海岸線
圍成的三角形
的面積
最小時,這種補給方案最優.
(1)求關于
的函數關系式
;
(2)應征調位于港口正東多少海里處的補給船只,補給方案最優?
(1);(2)1400.
解析試題分析:(1)本題已知條件可以理解為是固定的,點
也是不變,直線
過點
,要求
面積的最小值,根據已知條件,我們用解析法來解題,以
為坐標原點,向東方向為
正半軸,向北方向為
軸正半軸,建立直角坐標系,則可得直線
的方程為
,點
坐標為
,又有點
坐標為
,可得直線
方程,它與直線
的交點
的坐標可解得,而
,這樣要求的表達式就可得;(2)在(1)基礎上,
,其最小值求法,把分式的分子分母同時除以
,得
,分母是關于
的二次函數,最值易求.
試題解析:(1)以O點為原點,正北的方向為y軸正方向建立直角坐標系, (1分)
則直線OZ的方程為,設點A(x0,y0),則
,
,即A(900,600), (3分)
又B(m,0),則直線AB的方程為:, (4分)
由此得到C點坐標為:, (6分)
(8分)
(2)由(1)知 (10分)
(12分)
所以當,即
時,
最小,
(或令,則
,當且僅當
時,
最。
∴征調海里處的船只時,補給方案最優. (14分)
考點:解析法解應用題.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
經過長期觀測得到:在交通繁忙的時段內,某公路段汽車的車流量(千輛/時)與汽車的平均速度
(千米/時)之間的函數關系為
(
).
(1)在該時段內,當汽車的平均速度為多少時,車流量最大?最大車流量為多少?
(2)若要求在該時段內車流量超過千輛/時,則汽車的平均速度應在什么范圍內?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓
的離心率為
,橢圓上異于長軸頂點的任意點
與左右兩焦點
、
構成的三角形中面積的最大值為
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知點,連接
與橢圓的另一交點記為
,若
與橢圓相切時
、
不重合,連接
與橢圓的另一交點記為
,求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(2011•湖北)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數,當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明:當20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數.
(1)當0≤x≤200時,求函數v(x)的表達式;
(2)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數,單位:輛/小時)f(x)=x•v(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時).
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知二次函數f(x)=ax2+bx+c (a≠0)且滿足f(-1)=0,對任意實數x,恒有f(x)-x≥0,并且當x∈(0,2)時,f(x)≤.
(1)求f(1)的值;
(2)證明:a>0,c>0;
(3)當x∈[-1,1]時,函數g(x)=f(x)-mx (x∈R)是單調函數,求證:m≤0或m≥1.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,某小區有一邊長為2(單位:百米)的正方形地塊OABC,其中OAE是一個游泳池,計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路(寬度不計),切點為M,并把該地塊分為兩部分.現以點O為坐標原點,以線段OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,若池邊AE滿足函數
)的圖象,且點M到邊OA距離為
.
(1)當時,求直路
所在的直線方程;
(2)當t為何值時,地塊OABC在直路不含泳池那側的面積取到最大,最大值是多少?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某市2013年發放汽車牌照12萬張,其中燃油型汽車牌照10萬張,電動型汽車2萬張.為了節能減排和控制總量,從2013年開始,每年電動型汽車牌照按50%增長,而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少萬張,同時規定一旦某年發放的牌照超過15萬張,以后每一年發放的電動車的牌照的數量維持在這一年的水平不變.
(1)記2013年為第一年,每年發放的燃油型汽車牌照數構成數列,每年發放的電動型汽車牌照數為構成數列
,完成下列表格,并寫出這兩個數列的通項公式;
(2)從2013年算起,求二十年發放的汽車牌照總量.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數.
(1)求k的值;
(2)設g(x)=log4,若函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數a的取值范圍.
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