Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+3，x∈[1，3]．
（Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[1，3]上單調遞增，試求a的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若函數y=f（x）在區間[1，3]上單調遞增，則區間[1，3]完全在對稱軸的右側，由此構造關于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范圍；
（2）解法1：若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，則a＜

x2+2

x

=x+

2

x

在x∈[1，3]上恒成立．構造函數g(x)=x+

2

x

，求出其最小值，進而即可得到a的取值范圍．解法2：若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，我們分區間[1，3]完全在對稱軸左側，右側和在對稱軸兩側三種情況進行分析討論，最后綜合討論結果即可得到答案．

解答：解：（1）由于f(x)=(x-

a

2

)2+3-

a2

4

，（1）由題意可得

a

2

≤1⇒a≤2．
（2）解法1：由題意得x²-ax+2＞0在x∈[1，3]上恒成立，即a＜

x2+2

x

=x+

2

x

在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)=x+

2

x

，由其圖象可知g（x）在x∈[1，3]上的最小值為2

2

（當x=

2

時取到），故a＜2

2

．
解法2：(x-

a

2

)2+2-

a2

4

＞0在x∈[1，3]上恒成立，
當

a

2

≤1時，f（1）=3-a＞0⇒a≤2；
當1＜

a

2

≤3時，2-

a2

4

＞0⇒2＜a＜2

2

；
當

a

2

＞3時，f（3）=11-3a＞0，此時無解，綜上可得a＜2

2

．

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，其中熟練掌握二次函數的圖象和性質，在遇到二次函數的參數問題題分析區間與對稱軸的關系，并進行分類討論，是解答此類問題的關鍵．