Question

在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項S_n滿足S_n²=a_n．
（I）求a_n；
（II）設b_n=，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（III）是否存在自然數m，使得對任意n∈N^*，都有T_n＞（m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）∵S_n²=a_n（S_n-）（n≥2）
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-）
∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴2=…（2分）
又a₁=1，=1
∴數列為首項為1，公差為2的等差數列．…（3分）
∴=1+（n-1）•2=2n-1
∴S_n=．
∴a_n=…（5分）
（II）b_n=）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=）]
=…（8分）
（III）令T（x）=，則T（x）在[1，+∞）上是增函數
∴當n=1時T_n=取得最小值．…（10分）
由題意可知，要使得對任意n∈N^*，都有T_n＞（m-8）成立，
只要T₁＞（m-8）即可．
∴（m-8）
∴m＜
又m∈n
∴m=9．…（12分）
分析：（I）將a_n=S_n-S_n-1代入已知等式，展開變形、化簡可得2=，證出數列為等差數列，從而，得出S_n的表達式，進而可以求出a_n；
（II）將（I）中的S_n的表達式代入到b_n當中，用裂項相消法可以求出T_n表達式；
（III）用T_n的表達式得出其單調性，將不等式T_n＞（m-8）轉化為T₁＞（m-8），最后可以求出符合題m的最大值．
點評：本題考查了數列求和的方法和等差數列的相關知識，屬于中檔題．采用裂項相消法、利用數列的單調性和不等式恒成立的處理，是解決問題的關鍵．