Question

一種電腦屏幕保護畫面,只有符號“○”和“×”隨機地反復出現，每秒鐘變化一次，每次變化只出現“○”和“×”之一，其中出現“○”的概率為p，出現“×”的概率為q.若第k次出現“○”，則記a_k=1；出現“×”，則記a_k=-1.令S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)(理)當p=q=時，記ξ=|S₃|,求ξ的分布列及數學期望;

(文)當p=q=時,求S₆≠2的概率;

(2)當p=,q=時,求S₈=2且S_i≥0(i=1,2,3,4)的概率.

Answer 1

解:(1)(理)∵ξ=|S₃|的取值為1、3,

又p=q=,

∴P(ξ=1)=()·()²·2=,

P(ξ=3)=()³+()³=.

∴ξ的分布列為

ξ	1	3
P

∴Eξ=1×+3×=.

(文)先求S₆=2的概率.

∵S₆=2,

∴6次變化中,出現“○”有4次，出現“×”有2次.

故S₆=2的概率為()⁴·()²=.

∴S₆≠2的概率為P₁=1-=.

(2)當S₈=2時,即前八秒出現“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0(i=1,2,3,4),

若第一、三秒出現“○”，則其余六秒可任意出現“○”3次；

若第一、二秒出現“○”，第三秒出現“×”，則后五秒可任出現“○”3次.

故此時的概率為P=()·()⁵·()³=(或).