Question

如圖所示的幾何體，是將高為2、底面半徑為1的圓柱沿過旋轉軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后形成的封閉體．分別為AB，BC，DE的中點，F為弧AB的中點，G為弧BC的中點．
（1）求這個幾何體的表面積；
（2）求異面直線AF與所成的角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，變化后形成的封閉體表面比原來的圓柱表面多了兩個軸截面的面積，由此不難結合已知數據計算出它的表面積．
（2）連接AF、CG、CO₂'，則可得∠CGO₂'或其補角為異面直線AF與GO₂'所成的角．然后在△CGO₂'中，計算出各邊的長，利用余弦定理即可求出異面直線AF與GO₂'所成的角的余弦值，從而得出異面直線AF與GO₂'所成的角大小．
解答：解：（1）將圓柱按題中方法切開，再平移后接成封閉體后，該幾何體的表面積比原來的圓柱表面積多了兩個軸截面矩形的面積，
因此它的表面積為S_表=S_圓柱表+2S_BCDE=（2π×1²+2π×1×2）+2×2×2=6π+8；   …（6分）
（2）連接AF、CG、CO₂'，則AF∥CG，
所以∠CGO₂'或其補角為異面直線AF與GO₂'所成的角．…（9分）
在△CGO₂'中，GO₂'=CO₂'==，CG==，…（12分）
∵cos∠CGO₂'==，
∴∠CGO₂'=arccos，即異面直線AF與GO₂'所成的角的大小為arccos．…（14分）
點評：本題將一個圓柱體一分為二，求平移后的表面積和異面直線所成角的大小，著重考查了旋轉體表面積的求法和異面直線所成角等知識，屬于基礎題．