Question

若實數x，y滿足方程組

(x-1)2011+(x-1)2009+2010x=4020 (y-1)2011+(y-1)2009+2010y=0

，則x+y=

2

．

Answer 1

分析：由條件令t=x-1，s=y-1可得t²⁰¹¹+t²⁰⁰⁹+2010t=2010，s²⁰¹¹+s²⁰⁰⁹+2010s=-2010．由函數f（x）=x²⁰¹¹+x²⁰⁰⁹+2010x 單調遞增且是奇函數，可得t，s都是唯一的，t=-s，由此求得x+y的值．

解答：解：把 （x-1）²⁰¹¹+（x-1）²⁰⁰⁹+2010x=4020 兩邊同時減去2010可得
（x-1）²⁰¹¹+（x-1）²⁰⁰⁹+2010（x-1）=2010，
令t=x-1，可得t²⁰¹¹+t²⁰⁰⁹+2010t=2010．
把 （y-1）²⁰¹¹+（y-1）²⁰⁰⁹+2010y=0兩邊同時減去2010可得
（y-1）²⁰¹¹+（y-1）²⁰⁰⁹+2010（y-1）=-2010
設s=y-1，有 s²⁰¹¹+s²⁰⁰⁹+2010s=-2010．
由于函數f（x）=x²⁰¹¹+x²⁰⁰⁹+2010x 單調遞增，
所以  f（x）=c 只有一個根（ c 是任意實數），所以t，s都是唯一的
由f（x） 是奇函數，即f（-x）=-f（x），可得 t=-s，
即  x-1=-（y-1），∴x+y=2．
故答案為2．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數判斷，函數的單調性和奇偶性的應用，屬于中檔題．構造出統一的形式來是解題的關鍵