Question

已知函數，且．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數f（x）在區間（0，1）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

解：（1）由題意知，
即，解得p=2
則所求解析式為
（2）由（1）得，，則此函數的定義域是{x|x≠0}，
∵f（-x）==-f（x），
∴函數f（x）是奇函數．
（3）由（1）可得=，則函數f（x）在區間（0，1）上是增函數，
證明如下：設0＜x₁＜x₂＜1，
∴
=
∵0＜x₁＜x₂＜1，0＜x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在區間（0，1）上是增函數．
分析：（1）把x=2代入函數的解析式，列出關于p的方程，求解即可；
（2）由（1）求出的解析式，根據分母不為零求出函數的定義域，然后驗證f（x）與f（-x）的關系，判斷出函數的奇偶性；
（3）先把解析式化簡后判斷出單調性，再利用定義法證明：在區間上取值-作差-變形-判斷符號-下結論，因解析式由分式，故變形時必須用通分．
點評：本題考查了有關函數的性質綜合題，用待定系數法求解析式，用定義法證明函數的奇偶性和單調性，必須遵循證明的步驟，考查了分析問題和解決問題能力．