Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓E：（）的長軸長為4，左準線l的方程為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線過橢圓E的左焦點，且與橢圓E交于A，B兩點.

①若，求直線的方程；

②過A作左準線l的垂線，垂足為，點，求證：，B，G三點共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）①或，②證明見解析

【解析】

（1）根據長軸的值和準線的方程，可求得，的值，結合，從而可求出橢圓的標準方程；
（2）①設，，作，根據橢圓的第二定義可得，結合，可推出，從而推出，根據，可得，分別對直線的斜率存在與不存在進行討論，結合韋達定理即可求得直線的方程；

②當直線的斜率不存在時，分別求出，，即可得證；當直線的斜率存在時，分別求出，，結合韋達定理即可求證.

（1）由題，，，∴，

∴，橢圓方程.

（2）①設，

作，由第二定義，，而

∴，同理

∴，即，②證明見解析

設的斜率為k

1°若k不存在，即（舍）

2°若k存在，：

聯立

消去y，（*），恒成立

∴，即，∴：或

②證明1°若的斜率不存在，，，，，，

∴，B，G三點共線.

2°若的斜率存在，，，

要證，B，G共線.即證，即，即

即，即

由（*），

代入上式：，即顯然成立。

∴，B，G三點共線.

綜上所述，，B，G三點共線.