Question

如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA=AB=2,BC=a,又側棱PA⊥底面ABCD.

(1)當a為何值時,BD⊥平面PAC?試證明你的結論.

(2)當a=4時,求D點到平面PBC的距離.

(3)當a=4時,求直線PD與平面PBC所成的角.

Answer 1

剖析:本題主要考查棱錐的性質,直線、平面所成的角的計算和點到平面的距離等基礎知識.同時考查空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力.

解:(1)以A為坐標原點,以AD、AB、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,當a=2時,BD⊥AC,又PA⊥BD,故BD⊥平面PAC.故a=2.

    (2)當a=4時,D(4,0,0)、C(0,2,0)、C(4,2,0)、P(0,0,2),=(0,2,-2),=(4,0,0).

    設平面PBC的法向量為n,則n·=0,n·=0,即(x,y,z)·(0,2,-2)=0,(x,y,z)·(4,0,0)=0,得x=0,y=z,取y=1,故n=(0,1,1).則D點到平面PBC的距離d==.

    (3) =(4,0,2),cos〈,n〉==＞0,證〈,n〉=α,設直線PD與平面PBC所成的角為θ,則sinθ=sin(-α)=cosα=.

    所以直線PD與平面PBC所成的角為arcsin.