Question

【題目】已知函數f（x）=xm﹣ ，且f（3）= ．
（1）求函數f（x）的解析式，并判斷函數f（x）的奇偶性．
（2）證明函數f（x）在（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（3）= ，可知m=1，

所以函數的解析式為f（x）=x﹣

又因為函數的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱，

且f（﹣x）=（﹣x）﹣（﹣ ）=﹣（x﹣ ）=﹣f（x），由函數奇偶性定義可知，

函數f（x）=x﹣ 為奇函數

（2）證明：設x1，x2是區間（0，+∞）上任意兩個實數，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣ ）﹣（x2﹣ ）=（x1﹣x2）（1+ ），

因為0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，1+ ＞0，

所以f（x1）＜f（x2）．

所以函數f（x）=x﹣ 在區間（0，+∞）是單調遞增函數

【解析】（1）代入法求出m的值，求出f（x）的解析式，根據函數奇偶性的定義判斷即可；（2）根據函數單調性的定義證明即可．
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大�。虎圩鞑畋容^或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱即可以解答此題．