Question

【題目】（12分）已知函數f(x)對任意的實數m，n都有：f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，

且當x＞0時，有f(x)＞1.

(1)求f(0)．

(2)求證：f(x)在R上為增函數．

(3)若f(1)＝2，且關于x的不等式f(ax－2)＋f(x－x2)＜3對任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) f(0)＝1 (2)見解析 (3) (－∞，2－1)

【解析】

（1）利用賦值法，令，可得．（2）根據函數單調性的定義并結合所給的函數的性質可證明結論成立．（3）根據題意可將不等式化為，再由函數f(x)在R上為增函數可得x2-(a+1)x+3>0對任意的x∈[1,+∞)恒成立，然后根據二次函數在所給區間上的最值的求法求出函數的最小值后可得所求．

(1)解令m=n=0,則f(0)=2f(0)-1,

∴f(0)=1.

(2)證明：設x1,x2∈R,且x1<x2,

則．

∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1,

∴，

∴f(x2)>f(x1)．

故f(x)在R上為增函數．

(3)解∵，

即，

∴，

∵f(1)=2,

∴.

又f(x)在R上為增函數,

∴．

∴對任意的x∈[1,+∞)恒成立.

令，

①當≤1,即a≤1時,函數在[1,+∞)上單調遞增，

由,得a<3,

∴a≤1；

②當>1,即a>1時,由,得，

∴

綜上可得實數a的取值范圍為．