Question

已知f(x)=

2x-1

2x+1

(x∈R)．
（1）問函數f（x）是奇函數還是偶函數；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）、先判斷定義域關于原點對稱，再驗證f（x）=f（-x），得出f（x）為奇函數．
（2）、通過湊分母分離常數得函數解析式為f(x)=1-

2

2x+1

，這樣自變量x只在分母上有，
利用不等式的性質逐步判式子2^x，2^x+1，

2

2x+1

，-

2

2x+1

，1-

2

2x+1

的范圍，從而得函數的值域．

解答：解：（1）、由題意知f（x）的定義域為R關于原點對稱，
又因為f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，
所以函數f(x)=

2x-1

2x+1

(x∈R)為奇函數．
（2）、f(x)=

2x-1

2x+1

=

(2x+1)-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
因為x∈R，所以2^x＞0，所以2^x+1＞1，所以0 ＜

2

2x+1

＜2，
所以-2 ＜-

2

2x+1

＜0，所以-1 ＜1-

2

2x+1

＜1，
所以函數f（x）的值域為：（-1，1）．

點評：本題考查判斷函數的奇偶性，求函數的值域，用到了奇偶性的定義，
通過湊分母分離常數，利用不等式的性質逐步判式子的范圍．