精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數（）.

（1）證明：當時，在上是增函數；

（2）是否存在實數，只有唯一正數，對任意正數，使不等式恒成立？若存在，求出這樣的；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）詳見解析；（2）存在實數，只有唯一值，符合題意.

【解析】

（1）將在上是增函數轉化為在上恒成立，構造新函數利用導數求最值即可證明.

（2）將恒成立轉化為恒成立，利用導數研究其單調性及最值，找到符合題意的正數的值.

證明：（1）

令

則，因此是增函數

故，因此是增函數

（2）取，可知，

令

由得

①當時，可得在遞減，是遞增

令

因為存在唯一的正數，使得

故只能

得

在上遞減，在上遞增

得，此時只有唯一值

②當時，為增函數，得，故

當時，滿足的不唯一

當時，滿足的只能，

但時滿足且

因此時，值不唯一

故存在實數，只有唯一值，

當時恒有

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設拋物線C：的焦點為F，經過點F的直線與拋物線交于A、B兩點．

(1)若，求線段中點M的軌跡方程；

(2)若直線AB的方向向量為，當焦點為時，求的面積；

(3)若M是拋物線C準線上的點，求證：直線的斜率成等差數列．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設是定義在上的函數，若存在，使得在單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函數，為峰點，包含峰點的區間稱為含峰區間，其含峰區間的長度為：．

（1）判斷下列函數中，哪些是“上的單峰函數”？若是，指出峰點；若不是，說出原因；；

（2）若函數是上的單峰函數，求實數的取值范圍；

（3）若函數是區間上的單峰函數，證明：對于任意的，若，則為含峰區間；若，則為含峰區間；試問當滿足何種條件時，所確定的含峰區間的長度不大于0.6．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】關于函數，給出以下四個命題，其中真命題的序號是_______.

①時，單調遞減且沒有最值；

②方程一定有解；

③如果方程有解，則解的個數一定是偶數；

④是偶函數且有最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，,點是中點，且,現將三角形沿折起，使點到達點的位置，且與平面所成的角為.

(1)求證:平面平面;

(2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

有時可用函數

描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數（），表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關.

（1） 證明：當時，掌握程度的增加量總是下降；

（2） 根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區間分別為,,

.當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇；

方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率為.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束.若中獎，則通過拋一枚質地均勻的硬幣，決定是否繼續進行第二次抽獎，規定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，獲得獎金1000元；若未中獎，則所獲獎金為0元.

方案乙：員工連續三次抽獎，每次中獎率均為，每次中獎均可獲獎金400元.

（1）求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金（元）的分布列；

（2）某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，試比較哪個方案更劃算？

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，平面．

（1）求異面直線與所成角的大�。�

（2）求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
久久精品免费一区二区视