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如圖，三棱錐P―ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為正三角形，D、E分別是BC、CA的中點。

   （1）證明：平面PBE⊥平面PAC；

   （2）如何在BC上找一點F，使AD//平面PEF？并說明理由；

   （3）若PA=AB=2，對于（2）的點F，求三棱錐B―PEF的體積。

（1）證明：∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BE。

又∵△ABC是正三角形，且E為AC的中點，

∴BE⊥CA。

又PACA=A，

∴BE⊥平面PAC。

∵BE平面PBE，

∴平面PBE⊥平面PAC

（2）解：取CD的中點F，則F即為所求。

∵E、F分別為CA、CD的中點，

∴EF//AD。

又EF平面PEF，AD平面PEF，

∴AD//平面PEF。

   （3）

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的大小的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•石景山區一模）如圖，三棱錐P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M為線段PC上的點，設
|
PM|
|PC
|
=λ，問λ為何值時能使直線PC⊥平面MAB；
（Ⅲ）求二面角C-PB-A的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，側面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=2
2
．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E為側棱PB的中點，求直線AE與底面ABC所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•德陽二模）如圖，三棱錐P-ABC中，PA丄面ABC，∠ABC=90°，PA=AB=1，BC=2，則P-ABC的外接球的表面積為
6π
6π
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖在三棱錐P-ABC中，AB⊥PC，AC=2，BC=4，AB=2
3
，∠PCA=30°．
（1）求證：AB⊥平面PAC． （2）設二面角A-PC-B•的大小為θ•，求tanθ•的值．

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