Question

設函數f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)，x∈R
（Ⅰ）若 f(x)=1-

3

且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（Ⅱ）若函數y=2sin2x的圖象按向量

c

=(m，n)（|m|＜

π

2

）平移后得到y=f（x）的圖象，求出m，n的值；
（Ⅲ）若存在兩個不同的x∈[-

π

3

，

π

3

]，使得f（x）=a，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積的坐標運算及兩角和與差的正弦公式將f（x））=

a

•

b

轉化為f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，依題意，利用正弦函數的定義域與值域即可求得x的值；
（Ⅱ）令y=g（x）=2sin2x，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得f（x）=g（x-m）+n，從而可求得m，n的值；
（Ⅲ）利用正弦函數的圖象與性質及函數f（x）=a的零點的概念，通過數形結合即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1
=1-

3

，
∴sin（2x+

π

6

）=-

3

2

，
∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴-

π

2

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，
∴2x+

π

6

=-

π

3

，
∴x=-

π

4

．
（Ⅱ）∵函數y=g（x）=2sin2x的圖象按向量

c

=（m，n）平移后得到y=f（x）的圖象，
∴f（x）=g（x-m）+n=2sin2（x-m）+n=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴-2m=2kπ+

π

6

（k∈Z），且n=1，
∴m=-kπ-

π

12

（k∈Z），且n=1，
又|m|＜

π

2

，
∴m=-

π

12

，n=1．
（Ⅲ）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
又x∈[-

π

3

，

π

3

]，

∴-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-2≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
-1≤2sin（2x+

π

6

）+1≤3，
又f（x）=a在[-

π

3

，

π

3

]上有兩解，
∴直線y=a與曲線y=f（x）在x∈[-

π

3

，

π

3

]上有兩個交點，
∴2≤a＜3．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考查向量的數量積的坐標運算及兩角和與差的正弦公式與正弦函數的圖象與性質，屬于難題．