Question

【題目】已知函數.

（I）求函數的單調區間；

（II）若在上恒成立，求實數的取值范圍；

（III）在（II）的條件下，對任意的，求證：.

Answer 1

【答案】（I）當時，在上單調遞增，無單調遞減區間，當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（II）；(III)證明見解析.

【解析】試題分析：（I）利用時為單調增函數，時為單調減函數這一性質來分情況討論題中單調區間問題；（II）根據函數單調性與最值，若在上恒成立，則函數的最大值小于或等于零.當時，在上單調遞增，，說明時，不合題意舍去.當時，的最大值小于零.但在上恒成立，所以只能等于零.令即可求得答案；（III）首先將的表達式表達出來，化簡轉化為的形式，再根據（II）的結論得到，后逐步化簡，原命題得證.

試題解析：（I），

當時，恒成立，則函數在上單調遞增，無單調遞減區間；

當時，由，得，由，

得，此時的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（II）由（I）知：當時，在上遞增，，顯然不成立；

當時，，只需即可，

令，則，

在上單調遞減，在上單調遞增.

.

對恒成立，也就是對恒成立，

，解得，若在上恒成立，則.

(III)證明：，

由（II）得在上恒成立，即，當且僅當時取等號，

又由得，所以有，即.

則，

則原不等式成立. ………（12分）