Question

設無窮數列{a_n}的各項都是正數，S_n是它的前n項之和，對于任意正整數n，a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項，則該數列的通項公式為

 

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：由等差中項和等比中項可得

an+2

2

=

2Sn

，平方可得S_n=

(an+2)2

8

，把n=1代入可得a₁=2，還可得S_n-1=

(an-1+2)2

8

，又a_n=S_nS-_n-1，數列各項都是正數，可得a_n-a_n-1=4，可得數列為等差數列，可得通項公式．

解答：解：由題意知

an+2

2

=

2Sn

，平方可得S_n=

(an+2)2

8

，①
①由a₁=S₁得

a1+2

2

=

2a1

，從而可解得a₁=2．
又由①式得S_n-1=

(an-1+2)2

8

（n≥2）…②
①-②可得a_n=S_nS-_n-1=

(an+2)2

8

-

(an-1+2)2

8

（n≥2）
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0 
∵數列{a_n}的各項都是正數，
∴a_n-a_n-1-4=0，即a_n-a_n-1=4．
故數列{a_n}是以2為首項4為公差的等差數列，
故其通項公式為a_n=2+4（n-1）=4n-2，
故答案為：a_n=4n-2

點評：本題考查等差數列和等比數列的性質，屬中檔題．