Question

【題目】已知函數.

（1）若任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（2）求證：對任意， ，都有成立；

（3）對于給定的正數，有一個最大的正數，使得整個區間上，不等式恒成立，求出的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：

（1）由題意令，則，可得，即可求解實數的取值范圍；

（2）對任意， ，作差化簡，即可.

（3）由題意得，由不等式恒成立得且，結合二次函數的圖象，分類討論，即可求解的表達式.

試題解析：

（1）因為， 恒成立，令， ，則

所以，解得

（2）對任意， ，

，

（3）對稱軸， 由不等式恒成立得且

因為，當，即時，則， 在為減函數.

由題意知： 由且，解得：

所以時，

當，即時，則總成立

由題意得： ， 在為減函數， 在為增函數，

又，則，

由， 解得，所以時，

綜上

點睛:本題考查了函數的綜合應用，解答中涉及到不等式的恒成立問題的求解，不等式的性質的應用，以及二次函數的圖象與性質的應用，解答中把不等式的恒成立問題轉化為函數的最值問題是解答的關鍵，試題綜合性強，屬于中檔試題.