Question

【題目】已知函數.

（1）若關于的方程有且只有一個實數根，求實數的取值范圍；

（2）若函數的圖象總在函數圖象的下方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由得出，可得出，令，將問題轉化為直線與函數的圖象只有一個交點，利用導數分析函數的單調性和極值，利用數形結合思想可求得實數的取值范圍；

（2）由題意可知不等式對任意的恒成立，令，對實數進行分類討論，分析函數在區間上的單調性，結合可求得實數的取值范圍.

（1）令，得，

設，則直線與函數的圖象只有一個交點，

函數的定義域為，，

令，得，列表如下：

		極大值

所以，函數在處取得極大值，即，如下圖所示：

由上圖可知，當或時，即當或時，直線與函數的圖象只有一個交點，

因此，實數的取值范圍是；

（2）令，根據題意知，當時，恒成立.

又.

①若，對任意的恒成立，此時，函數在區間上單調遞減，

所以，，得，此時；

②若，當時，；當時，.

所以，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

當時，，不合乎題意；

③若，對任意的，，則函數在區間上單調遞增.

當時，，不合乎題意.

綜上，所求實數的取值范圍是.