Question

已知函數f(x)=-x²+2x+3.

(1)畫出f(x)的圖像；

(2)根據圖像寫出函數f(x)的單調區間；

(3)利用定義證明函數f(x)=-x²+2x+3在區間(-∞,1］上是增函數；

(4)當函數f(x)在區間(-∞,m］上是增函數時，求實數m的取值范圍.

Answer 1

思路分析：本題主要考查二次函數的圖像、函數的單調性及其綜合應用.(1)畫二次函數的圖像時，重點確定開口方向和對稱軸的位置；(2)根據單調性的幾何意義，寫出單調區間；(3)證明函數的增減性，先在區間上取x₁＜x₂，然后作差f(x₁)-f(x₂)，判斷這個差的符號即可；(4)討論對稱軸和區間［m,+∞)的相對位置.

解：(1)函數f(x)=-x²+2x+3的圖像如下圖所示.

(2)由函數f(x)的圖像，得在直線x=1的左側圖像是上升的，在直線x=1的右側圖像是下降的，故函數f(x)的單調遞增區間是(-∞,1］，單調遞減區間是(1,+∞).

(3)設x₁、x₂∈(-∞,1］，且x₁＜x₂，則有

f(x₁)-f(x₂)=(-x₁²+2x₁+3)-(-x₂²+2x₂+3)

=(x₂²-x₁²)+2(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(2-x₁-x₂).

∵x₁、x₂∈(-∞,1］，且x₁＜x₂，

∴x₁-x₂＜0,x₁+x₂＜2.

∴2-x₁-x₂＞0.

∴f(x₁)-f(x₂)＜0.

∴f(x₁)＜f(x₂).

∴函數f(x)=-x²+2x+3在區間(-∞,1］上是增函數.

(4)函數f(x)=-x²+2x+3的對稱軸是直線x=1，在對稱軸的左側是增函數，那么當區間(-∞,m］位于對稱軸的左側時滿足題意，則有m≤1，即實數m的取值范圍是(-∞,1］.

綠色通道：討論二次函數的單調性時，要結合二次函數的圖像，通過確定對稱軸和單調區間的相對位置來解決.