Question

討論下述函數的奇偶性：
（1）f（x）=

16x+1 +2x

2x

，
（2）f（x）=

In( x+1 )+ x (x＞0) 0(x=0) In( 1-x + -x )(x＜0)

，
（3）f（x）=log2(

1-x2

+

x2-1

+1)，
（4）f（x）=

a2-x2

|x+a|-a

（常數a≠0）．

Answer 1

分析：（1）先化簡函數，然后求出函數的定義域看其是否關于原點對稱，最后判定f（-x）與f（x）的關系；
（2）分段函數的奇偶性的判定需要分段求解判定，分別在每一段上判定f（-x）與f（x）的關系；
（3）先求函數函數的定義域，然后化簡函數解析式，可得函數f（x）的圖象由兩個點A（-1，0）與B（1，0）組成，
這兩點既關于y軸對稱，又關于原點對稱，從而得到結論；
（4）要分a＞0與a＜0兩類討論，先求出函數的定義域，判定是否對稱，然后根據f（-x）與f（x）的關系進一步判定奇偶性即可．

解答：解：（1）函數定義域為R，
先化簡：f（x）=

16x+1

4x

+1=

4x+4-x

+1，
f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數；

（2）須要分三段討論：
①設x＞0，∴-x＞0
∴f（-x）=ln（

1+x

+

x

）=ln

1

x+1 - x

=-ln（-

x+1

-

x

）=-f（x）
②設x＜0，∴-x＞0
∴f（-x）=ln（

-x+1

-

-x

）=ln

1

1-x + -x

=-ln（

1-x

+

-x

）=-f（x）
③當x=0時f（x）=0，也滿足f（-x）=-f（x）；
由①、②、③知，對x∈R有f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數；

（3）∵

1-x2≥0 x2-1≥0

?x²=1，
∴函數的定義域為{x|x=±1}，
∴f（x）=log₂1=0（x=±1），即f（x）的圖象由兩個點A（-1，0）與B（1，0）組成，
這兩點既關于y軸對稱，又關于原點對稱，
∴f（x）既是奇函數，又是偶函數；
（4）∵x²≤a²，

∴要分a＞0與a＜0兩類討論，
①當a＞0時，

-a≤x≤a |x+a|≠a

?函數的定義域為（-a，0）∪（0，a）
∴|x+a|＞0，∴f（x）=

a2-x2

x

，
∴當a＞0時，f（x）為奇函數；
②當a＜0時，

-a≤x≤a |x+a|≠a

?函數的定義域為（a，0）∪（0，-a）
∵|x+a|＜0，∴f（x）=

a2-x2

-x-2a

，取定義域內關于原點對稱的兩點x₁=

a

2

，x₂=-

a

2

，
∵f（

a

2

）±f（-

a

2

）=

3

5

±

3

3

≠0，
∴當a＜0時，f（x）既不是奇函數，也不是偶函數．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的判定，在定義域關于原點對稱的前提下，可根據定義判定函數奇偶性．