Question

（本小題滿分12分）

        已知函數的圖像過點（1，3），且對任意實數x都成立，函數的圖像關于原點對稱。

   （I）求的解析式；

   （II）若在[—1，1]上是增函數，求實數的取值范圍。

Answer 1

解: （Ⅰ）解法1：由題意知：f（x）=x²+mx+n的對稱軸為x=－1,

故f（x）=x²+2x       2分

設函數y=g（x）圖象上的任意一點P（x,y），P關于原點的對稱點為Q（x₀,y₀）

依題意得     4分

因為點Q（x₀,y₀） 在函數y=f（x）的圖象上,

∴－y=x²－2x，即y=－x²+2x,   g（x）=－x²+2x,      7分

（Ⅰ）解法2:：取x=1，由f（－1+x）=f（－1－x）得f（0）=f（－2）

由題意知： f（x）=x²+2x  2分

下同解法1．

（Ⅰ）解法3：∵f（－1+x）=（－1+x）²+m（－1+x）+n，

f（－1－x）=（－1－x）²+m（－1－x）+n，

又f（－1+x）=f（－1－x）對任意實數x都成立，

∴2mx=4x恒成立,m=2．．

而f（1）=1+m+n=3+n=3,∴n=0． f（x）=x²+2x    2分

下同解法1．

（Ⅱ）解法1：F（x）=g（x）－f（x）= －x²+2x－（ x²+2x）=－（1+）x²+2（1－）x

∵F（x）在[－1，1]上是連續的遞增函數,

∴在[－1，1]上恒成立         8分

即          9分

∴≤0時,F（x）=g（x）－f（x）在[－1，1]上是增函數       12分

（Ⅱ）解法2：F（x）=g（x）－f（x）= －x²+2x－（ x²+2x）=－（1+）x²+2（1－）x

∵F（x）在[－1，1]上是連續的遞增函數,

∴在[－1，1]上恒成立        8分

∴在上恒成立      9分

又函數y=上為減函數，      10分

當x=1時y=取最小值0，    11分

∴≤0時,F（x）=g（x）－f（x）在[－1，1]上是增函數．    12分

（Ⅱ）解法3：⑴當時，F（x）=4x，符合題意．     8分

⑵當，即時，由二次函數圖象和性質，

只需滿足，解得：      10分

⑶當，即時，由二次函數圖象和性質，

只需滿足：，解得：

綜上，≤0時,F（x）=g（x）－f（x）在[－1，1]上是增函數．    12分