Question

整數集合內不等式(

1

2

)4-x2＜(

1

2

)2a-2x的解集是{1}，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：由題意，可先考查y=(

1

2

)x單調性，將不等式轉化為一元二次不等式，再由題設條件整數集合內不等式(

1

2

)4-x2＜(

1

2

)2a-2x的解集是{1}，得出參數a所滿足的不等式

1-2+a-4＜0 a-4≥0

，解可解出實數a的范圍

解答：解：由題意(

1

2

)4-x2＜(

1

2

)2a-2x，由于y=(

1

2

)x是一個減函數
∴4-x²＞2a-2x，即x²-2x+2a-4＜0，令f（x）=x²-2x+2a-4
由于整數集合內不等式(

1

2

)4-x2＜(

1

2

)2a-2x的解集是{1}，
所以有

f(1)=1-2+2a-4＜0 f(2)=f(0)=2a-4≥0

，解得2≤a＜2.5
答：實數a的范圍是2≤a＜2.5

點評：本題考查指數函數綜合題，考查了指數函數的單調性，一元二次函數的性質，解題的關鍵是將指數不等式轉化為一元二次不等式，本題的難點是理解“整數集合內不等式(

1

2

)4-x2＜(

1

2

)2a-2x的解集是{1}，”由此知，此不等式的解集中只有整數1，從而推斷出x=0，x=2時的函數值都是大于等于0的，這為轉化出關于a的不等式組提供了依據．本題考查了理解能力及根據性質轉化的能力，考查了轉化思想，函數思想