Question

【題目】已知橢圓:經過點，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線交橢圓于，兩點，為橢圓的左焦點，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由橢圓的離心率可得，，從而使橢圓方程只含一個未知數，把點的坐標代入方程后，求得，進而得到橢圓的方程為；

（2）因為直線過定點，所以只要求出直線的斜率即可，此時需對直線的斜率分等于0和不等于0兩種情況進行討論，當斜率不為0時，設直線的方程為，點、，利用得到關于的方程，并求得.

（1）設橢圓的焦距為，則，

∴，，

所以，橢圓的方程為，

將點的坐標代入橢圓的方程得，

解得，則，，

因此，橢圓的方程為.

（2）①當直線斜率為0時，與橢圓交于，，而.

此時，故不符合題意.

②當直線斜率不為0時，設直線的方程為，設點、，

將直線的方程代入橢圓的方程，并化簡得，

，解得或，

由韋達定理可得，，

，同理可得，

所以

，即

解得：，符合題意

因此，直線的方程為或.