Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f″（x）是函數y=f（x）的導數y=f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．有同學發現“任何一個三次函數都有‘拐點’；任何一個三次函數都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發現為條件，函數f(x)=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

，則它的對稱中心為

（

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函數f(x)=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

對稱中心．

解答：解：（1）∵函數f(x)=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

，
∴f′（x）=3x² -3x+3，∴f″（x）=6x-3．
令 f″（x）=6x-3=0，解得 x=

1

2

，且f（

1

2

）=1，
故函數f(x)=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

對稱中心為（

1

2

，1），
故答案為：（

1

2

，1）．

點評：本小題主要考查函數與導數等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查化簡計算能力，函數的對稱性的應用，屬于基礎題．