Question

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cosθ－2sinθ.

(Ⅰ)求C的參數方程；

(Ⅱ)若點A在圓C上，點B(3,0)，求AB中點P到原點O的距離平方的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (α為參數)(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ) 已知極坐標方程兩邊同乘，利用，化簡方程得直角坐標方程，從而可求的參數方程；(Ⅱ) 利用參數方程，設出中點坐標，將中點到原點的距離平方用三角函數表示，根據輔助角公式化簡，利用三角函數的有界性，可求中點到原點的距離平方的最大值.

試題解析：(Ⅰ)由ρ＝4cos θ－2sin θ得ρ2＝4ρcos θ－2ρsin θ，

x2＋y2＝4x－2y，∴(x－2)2＋(y＋1)2＝5，

化為參數方程是 (α為參數).

(Ⅱ)設點P(x，y)，A(x0，y0)．

因為點B(3,0)，且AB中點為P，

所以

又點A在圓C上，

所以x0＝2＋cos α，y0＝－1＋sin α，

∴x2＋y2＝＋＝＋＝＝≤ (其中tanφ＝5)，

∴AB中點P到原點O的距離平方的最大值為.