Question

設，（a，b為常數）．當x＞0時，F（x）=f（x），且F（x）為R上的奇函數．
（Ⅰ）若，且f（x）的最小值為0，求F（x）的表達式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，在[2，4]上是單調函數，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=alog₂²x+blog₂x+1
由得a-b+1=0，
∴f（x）=alog₂²x+（a+1）log₂x+1
若a=0則f（x）=log₂x+1無最小值．
∴a≠0．
欲使f（x）取最小值為0，只能使，知a=1，b=2．
∴f（x）=log₂²x+2log₂x+
設x＜0則-x＞0，
∴F（x）=f（-x）=log₂²（-x）+2log₂（-x）+1
又F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log₂²（-x）-2log₂（-x）-1
又F（0）=0∴
（2）=．x∈[2，4]．
得log₂x=t．則，t∈[1，2]．
∴當k≤0，或或時，y為單調函數．
綜上，k≤1或k≥4．
分析：（1）根據可消去b，再由f（x）的最小值為0確定f（x）的解析式，最后求出F（x）的解析式．
（2）根據（1）先將g（x）的解析式化簡為，再將t=log₂x代入進行換元，可得答案．
點評：主要考查求函數解析式的問題．本題屬于較難類型的題．