Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，過的左焦點做軸的垂線交橢圓于、兩點，且.

（1）求橢圓的標準方程及長軸長；

（2）橢圓的短軸的上下端點分別為，，點，滿足，且，若直線，分別與橢圓交于，兩點，且面積是面積的5倍，求的值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的標準方程為：，長軸長為4（2）

【解析】

(1)根據通徑與橢圓的基本量的關系求解即可.

(2)分別設直線,直線的方程,聯立橢圓的方程,再利用三角形的面積公式表達出面積是面積的5倍,再代入韋達定理求解即可.

解：（1）因為橢圓的左焦點橫坐標為,

由及,得,

故,又,解得：,

所以,橢圓的標準方程為：,長軸長為4.

（2）∵,,,且,

∴直線的斜率為,直線斜率為,

∴直線的方程為,直線的方程為,

由得,∴,,∴,

由得,∴,,∴；

∵,

,

,,

∴,

即,

又,

∴,

整理方程得：,

解得：.