Question

函數f(x)=-

1

3

x3+

1

2

bx2+2ax，f′（x）是它的導函數．
（Ⅰ）當b=1時，若f（x）在區間(

2

3

，+∞)存在單調遞增區間，求a的取值范圍．
（Ⅱ）當1≤x≤2時，f′（x）≥0恒成立，求a²+b²+10a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）b=1時，函數的導函數為f^′（x）=-x²+x+2a，若f（x）在區間(

2

3

，+∞)存在單調遞增區間，應是在給定的區間內，有子區間使得導函數值大于0，然后借助于二次函數圖象開口向下，對稱軸一定列不等式求a的取值范圍；
（Ⅱ）導函數仍然是二次函數，開口向下，在閉區間上大于等于0恒成立，只要兩端點的函數值同時大于等于0即可，得到關于a、b的二次不等式組后，分析二元一次不等式所表示的平面區域，運用幾何意義知：a²+b²+10a=

(a+5)2+b2

2-25，最后求點（-5，0）到區域內最近點的距離．

解答：解：（Ⅰ）當b=1時，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，f^′（x）=-x²+x+2a，若f（x）在區間(

2

3

，+∞)存在單調遞增區間，則在區間(

2

3

，+∞)內存在子區間使得f^′（x）=-x²+x+2a＞0，
因導函數對應的圖象是開口向下的拋物線，且對稱軸方程為x=

1

2

，那么要使在區間(

2

3

，+∞)內存在子區間使得f^′（x）=-x²+x+2a＞0成立，
只需f′(

2

3

)=-(

2

3

)2+

2

3

+2a＞0，解得：a＞-

1

9

．
所以a的范圍為{a|a＞-

1

9

}．
（Ⅱ）由f(x)=-

1

3

x3+

1

2

bx2+2ax，得f^′（x）=-x²+bx+2a，導函數圖象是開口向下的拋物線，要使當1≤x≤2時，f′（x）≥0恒成立，則

f′(1)=-12+b+2a≥0 f′(2)=-22+2b+2a≥0

即

2a+b-1≥0 a+b-1≥0

而a²+b²+10a=（a+5）²+b²-25=

(a+5)2+b2

2-25，二元一次不等式組

2a+b-1≥0 a+b-1≥0

表示的平面區域內的動點（a，b）為（-1，3）時到定點（-5，0）的距離最小，
此時有（a²+b²+10a）_min=（-1+5）²+3²-25=0．
所以，滿足當1≤x≤2時，f′（x）≥0恒成立的a²+b²+10a的最小值為0．

點評：本題第一問考查了運用導函數在區間內的符號判斷原函數在區間內的單調性問題，解答的關鍵是理解f（x）在區間(

2

3

，+∞)內存在單調遞增區間的意義；第二問是基本的二次函數在區間內大于0恒成立問題，求最值時體現了數學轉化思想和數形結合思想，同時訓練了二元一次不等式所表示的平面區域問題，綜合性強．