Question

已知函數f（x）滿足2f（x+2）=f（x），當x∈(0，2)時，f(x)=lnx+ax(a＜-

1

2

)，當x∈（-4，-2）時，f（x）的最大值為-4．
（1）求x∈（0，2）時函數f（x）的解析式；
（2）是否存在實數b使得不等式

x-b

f(x)+x

＞

x

對于x∈（0，1）∪（1，2）時恒成立，若存在，求出實數b的取值集合，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），設x∈（-4，-2）時，則x+4∈（0，2），代入x∈(0，2)時，f(x)=lnx+ax(a＜-

1

2

)，求出f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），再根據當x∈（-4，-2）時，f（x）的最大值為-4，利用導數求得它的最大值，解方程即可求得a的值，進而求得結論；
（2）假設存在實數b使得不等式

x-b

f(x)+x

＞

x

對于x∈（0，1）∪（1，2）時恒成立，由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）時，不等式

x-b

f(x)+x

＞

x

恒成立，利用分離參數的方法，轉化為求函數的最值問題，即可求得b的值．

解答：解：（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），
因為x∈(0，2)時，f(x)=lnx+ax(a＜-

1

2

)，設x∈（-4，-2）時，則x+4∈（0，2），
所以f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）
∴x∈（-4，-2）時，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）
∴f′(x)=

4

x+4

+4a=4a•

x+4+ 1 a

x+4

，∵a＜-

1

2

，∴-4＜-

1

a

-4＜-2，
∴當x∈(-4，  -

1

a

-4)時，f′(x)＞0，f(x)為增函數，
當x∈(-

1

a

-4，-2)時，f′(x)＜0，f(x)為減函數，
∴f(x)max=f(-

1

a

-4)=4ln(-

1

a

)+4a(-

1

a

)=-4，∴a=-1
∴當x∈（0，2）時，f（x）=lnx-x
（2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）時，不等式

x-b

f(x)+x

＞

x

恒成立，
即為

x-b

lnx

＞

x

恒成立，
①當x∈（0，1）時，

x-b

lnx

＞

x

?b＞x-

x

lnx，令g(x)=x-

x

lnx，x∈(0，1)
則g′(x)=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

令h(x)=2

x

-lnx-2，則當x∈（0，1）時，h′(x)=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

＜0
∴h（x）＞h（1）=0，∴g′(x)=

h(x)

2 x

＞0，
∴g（x）＜g（1）=1，故此時只需b≥1即可；
②當x∈（1，2）時，

x-b

lnx

＞

x

?b＜x-

x

lnx，令φ(x)=x-

x

lnx，x∈(1，2)
則φ′(x)=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

令h(x)=2

x

-lnx-2，則當x∈（1，2）時，h′(x)=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

＞0
∴h（x）＞h（1）=0，∴φ′(x)=

h(x)

2 x

＞0，
∴φ（x）＜φ（1）=1，故此時只需b≤1即可，
綜上所述：b=1，因此滿足題中b的取值集合為：{1}

點評：此題是個難題．考查函數解析式的求法以及函數恒成立問題，體現了轉化和分類討論的思想方法，其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．